關(guān)鍵詞：漸開線齒輪;多截面;NURBS曲面;齒形誤差;齒面接觸;傳動(dòng)誤差

作者：宋美琪;汪中厚;陳銘治;李彥;汪發(fā)

作者單位：上海理工大學(xué)

　　摘要：【目的】新能源汽車的發(fā)展對(duì)齒面的微觀形貌提出了更高的要求。然而，齒形誤差的存在會(huì)影響齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性。為精確分析齒形誤差對(duì)漸開線齒輪嚙合性能的影響，為新能源汽車中的高精度齒輪發(fā)展提供指導(dǎo)，相較于現(xiàn)有的三截面測(cè)量齒面構(gòu)造方法，提出了一種多截面齒面構(gòu)造方法，使構(gòu)造齒面更加貼合實(shí)際齒面。【方法】通過有限元仿真，分析了含齒形誤差的多截面構(gòu)造齒輪與三截面構(gòu)造齒輪在嚙合周期內(nèi)的齒面接觸應(yīng)力以及不同負(fù)載下傳動(dòng)誤差的變化情況。【結(jié)果】結(jié)果表明，相比于三截面構(gòu)造的誤差齒輪，多截面構(gòu)造的誤差齒輪在整個(gè)嚙合周期內(nèi)最大接觸應(yīng)力變化明顯，更精確地反映了由齒形誤差帶來的接觸面積和載荷分配方式的變化；同時(shí)，隨著負(fù)載轉(zhuǎn)矩的增大，多截面構(gòu)造的誤差齒輪的傳動(dòng)誤差幅值增長(zhǎng)高于基于三截面構(gòu)造的齒輪；兩者相較于理論齒輪，多截面構(gòu)造的誤差齒輪的傳動(dòng)誤差波動(dòng)更明顯，更能反映真實(shí)的齒面情況。這為進(jìn)一步研究快速高效構(gòu)造貼合實(shí)際齒面的齒輪模型打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

　　0引言

　　近年來，新能源汽車得到快速發(fā)展和應(yīng)用。漸開線圓柱齒輪作為新能源汽車傳動(dòng)系統(tǒng)的關(guān)鍵零件[1]，其所需轉(zhuǎn)速最高可達(dá)到20000 r/min。因此，新能源汽車對(duì)傳動(dòng)齒輪的齒面精度提出了更高的要求。由于齒輪磨削加工中的誤差因素，齒面表面的實(shí)際幾何形狀偏離理論形狀[2]，產(chǎn)生齒形誤差。因此，需要構(gòu)建更貼合實(shí)際的誤差齒面模型來精確分析齒形誤差對(duì)嚙合性能的影響，為提高齒面精度要求打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

　　目前，關(guān)于含齒形誤差齒面模型重構(gòu)方面的研究，國內(nèi)外學(xué)者已取得長(zhǎng)足進(jìn)展，內(nèi)容多集中在重構(gòu)方法，主要有根據(jù)齒廓偏差范圍移動(dòng)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)法[3]、點(diǎn)云直接擬合法[4]、非均勻有理B樣條（Non-Uniform Rational B-Spline, NURBS）曲面擬合法[5]。針對(duì)漸開線直齒輪截面選取，喬福瑞[6]將理論齒形上的節(jié)點(diǎn)映射到通過三截面測(cè)量得到的實(shí)測(cè)齒形誤差曲線上，基于自動(dòng)零件清單繪圖（Automated Parts List Drawing,APDL）語言移動(dòng)節(jié)點(diǎn)來重構(gòu)誤差齒面，研究了齒面接觸和嚙合剛度的變化情況。陳思雨等[7]提取三截面測(cè)量得到的齒廓偏差，通過數(shù)值接觸分析了考慮齒形誤差的靜態(tài)傳遞誤差。

　　綜上，大部分研究者是基于三截面測(cè)量得到的偏差值進(jìn)行重構(gòu)的。新能源汽車的不斷發(fā)展對(duì)齒面精度的要求越來越高。運(yùn)用插補(bǔ)方法擬合出來的數(shù)據(jù)點(diǎn)相較于實(shí)際齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)存在偏差，選取的截面越少，代表擬合出的全齒面中插補(bǔ)部分占比更大，累積偏差也會(huì)更大。因此，基于三截面擬合的齒面已滿足不了要求，有必要對(duì)多截面構(gòu)造齒面進(jìn)行探討。本文基于L300G磨削試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行實(shí)測(cè)齒面點(diǎn)陣的多截面測(cè)量，采用雙三次NURBS曲面理論重構(gòu)出更加貼合實(shí)測(cè)齒形誤差的齒面。為驗(yàn)證多截面構(gòu)造的實(shí)測(cè)齒輪模型比三截面構(gòu)造的齒輪模型更能精確地反映齒形誤差對(duì)齒輪嚙合性能的影響，在Abaqus軟件中進(jìn)行了齒面接觸應(yīng)力以及齒輪副傳動(dòng)誤差情況的對(duì)比分析。

　　1基于NURBS曲面的數(shù)學(xué)模型

　　基于L300G磨削試驗(yàn)臺(tái)，得到漸開線齒輪齒面上的離散點(diǎn)，構(gòu)造出齒面的三維造型，這屬于逆向工程中的曲面重構(gòu)范疇。NURBS曲線曲面擬合包括了正算過程，即求解出NURBS曲面上任意一點(diǎn)的三維坐標(biāo)值；同時(shí)也包括反算過程，即通過反算控制點(diǎn)來擬合曲面。利用雙三次NURBS曲線構(gòu)造漸開線直齒輪三維模型的原理是：根據(jù)L300G上得到的各組離散點(diǎn)的三維坐標(biāo)值分別構(gòu)造三次NURBS曲線；然后，基于NURBS曲線構(gòu)造出擬合曲面，即

　　2基于多截面的實(shí)測(cè)誤差齒面模型的重構(gòu)

　　L300G試驗(yàn)臺(tái)如圖2（a）所示。不考慮磨齒運(yùn)動(dòng)，所以，設(shè)有直線運(yùn)動(dòng)的X、Y軸，工件轉(zhuǎn)動(dòng)軸A、探頭轉(zhuǎn)動(dòng)軸B來實(shí)現(xiàn)檢測(cè)運(yùn)動(dòng)[9]，如圖2（b）所示。為了能夠真實(shí)地反映出實(shí)測(cè)齒面以及提高曲面擬合精度，不同于傳統(tǒng)的漸開線齒輪三截面測(cè)量，在L300G齒輪成形磨削臺(tái)上進(jìn)行測(cè)量試驗(yàn)時(shí)，采用多截面測(cè)量，分別在左、右齒面上測(cè)量了9×14個(gè)齒面離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，其中，沿齒寬測(cè)量了9列，沿齒高測(cè)量了14行。測(cè)量點(diǎn)的分布如圖3所示。將每條齒形的數(shù)據(jù)點(diǎn)代入文獻(xiàn)[10]中的齒形誤差評(píng)價(jià)模型，得到實(shí)測(cè)齒輪模型的左齒面精度均為5級(jí)，右齒面精度均為5級(jí)。

　　通過NURBS曲面擬合反算原理，在Matlab軟件中進(jìn)行編程，求解出擬合齒面的控制點(diǎn)，總共獲得11×16個(gè)控制點(diǎn)；然后，將其導(dǎo)入到Catia三維模型軟件中，擬合出漸開線齒輪的左、右齒面，如圖4（a）所示。對(duì)于非測(cè)量區(qū)域，即齒根過渡區(qū)域，與標(biāo)準(zhǔn)齒輪保持一致，提取在Catia中繪制的標(biāo)準(zhǔn)齒輪的齒根過渡曲線的參數(shù)坐標(biāo)，根據(jù)董新華等[11]提出的NURBS曲線繪制法，也導(dǎo)入過渡曲線的控制點(diǎn)到Catia，從而擬合出齒根過渡曲面。最后完成漸開線齒輪實(shí)體建模，如圖4（b）所示。

　　根據(jù)文獻(xiàn)[13]，通過NURBS曲面正算過程，可以得到構(gòu)造齒面上8×13的網(wǎng)格中心點(diǎn)三維坐標(biāo)為si(xi，yi，zi)，理論齒面坐標(biāo)為Si(Xi，Yi，Zi)，取xi=Xi，yi=Yi，得到兩種齒面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的絕對(duì)誤差為Δz=|Zi-zi|，以左齒面為例，從8條曲線中找出具有最大誤差的曲線，并提取出6個(gè)誤差最大的點(diǎn)，其數(shù)據(jù)坐標(biāo)值與擬合誤差值分別如表1和表2所示。從表2可以看出，左齒面的擬合誤差值低于0.1 μm。

　　同理，建立右齒面的模型。選取右齒面上具有最大誤差的曲線，同樣提取出6個(gè)誤差最大的點(diǎn)，則左、右齒面的誤差曲線如圖5所示。

　　從圖5可以看出，采用NURBS曲面方法構(gòu)造的齒面擬合誤差保持在0.1 μm以內(nèi)。這驗(yàn)證了NURBS曲面重構(gòu)實(shí)測(cè)齒面的準(zhǔn)確性和可行性，為后續(xù)齒輪三維模型的嚙合性能分析提供了條件。

　　4齒輪嚙合性能的仿真分析

　　4.1齒輪有限元模型的建立根據(jù)三截面測(cè)量得到的齒形偏差值，在Hyper⁃Mesh軟件中移動(dòng)理論齒輪模型的對(duì)應(yīng)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，獲得三截面構(gòu)造的5級(jí)誤差齒輪，兩種齒面的差異如圖6所示。同時(shí)對(duì)兩種齒輪模型分別進(jìn)行仿真分析。

　　首先，在HyperMesh軟件中對(duì)兩個(gè)齒面模型進(jìn)行相同的高精度六面體網(wǎng)格劃分[14]，對(duì)齒輪中參與嚙合的實(shí)測(cè)部分進(jìn)行網(wǎng)格加密，并對(duì)齒根過渡區(qū)域進(jìn)行稍稀疏的網(wǎng)格劃分。其次，將兩個(gè)模型分別導(dǎo)入Abaqus軟件中進(jìn)行有限元求解。齒輪的材料選用合金鋼，彈性模量E為210000 MPa，泊松比ε為0.3；接觸屬性選擇通用接觸，齒面接觸屬性為硬接觸，摩擦因數(shù)設(shè)置為0.1；對(duì)于載荷邊界條件，需要在主動(dòng)輪、從動(dòng)輪軸線上創(chuàng)建參考點(diǎn)，分別與主、從動(dòng)輪建立耦合；在主動(dòng)輪上施加較小的轉(zhuǎn)角，在從動(dòng)輪上賦予20 N·m的阻力矩。

　　為獲得精確的有限元仿真結(jié)果，同時(shí)不影響計(jì)算效率，在嚙合區(qū)域進(jìn)行合理的網(wǎng)格劃分很關(guān)鍵。以多截面構(gòu)造的誤差齒輪模型為例，本文在不斷細(xì)化嚙合區(qū)網(wǎng)格、減小網(wǎng)格尺寸的過程中，將前后兩次計(jì)算的接觸應(yīng)力的偏差值作為判斷依據(jù)，若偏差值小于0.5%[15]，則有限元計(jì)算得到的接觸應(yīng)力值收斂至精確解，如表3所示。根據(jù)表3中數(shù)據(jù)，本文以每個(gè)輪齒網(wǎng)格數(shù)195372來建立齒輪模型，進(jìn)行后續(xù)的嚙合性能分析。其中，多截面構(gòu)造的誤差齒輪網(wǎng)格模型如圖7所示。

　　4.2嚙合周期內(nèi)誤差齒輪的齒面接觸應(yīng)力對(duì)比研究

　　接觸應(yīng)力是衡量齒輪嚙合性能的重要指標(biāo)，由于齒形誤差會(huì)改變理論的齒廓形狀，因此，需要通過求解齒輪在嚙合周期內(nèi)的嚙合位置來獲得齒形誤差對(duì)齒面接觸應(yīng)力的影響程度。

　　為表征輪齒在傳動(dòng)過程中的嚙合位置變化，規(guī)定在圖8所示的xOy坐標(biāo)系下，主動(dòng)輪齒頂中心點(diǎn)的法線與x軸正向所成的角度為相位角φ。

　　在齒輪嚙合傳動(dòng)過程中，輪齒會(huì)經(jīng)歷雙齒嚙合、單齒嚙合以及雙齒嚙合這3個(gè)階段。因此，在每個(gè)階段分別取5個(gè)不同的嚙合位置，以實(shí)現(xiàn)對(duì)齒輪整個(gè)嚙合周期的最大接觸應(yīng)力分析。

　　在Abaqus軟件中進(jìn)行有限元求解，得到的一個(gè)完整嚙合相位區(qū)間為[1.57，1.84] rad，如表4所示。同時(shí)，分別提取兩種重構(gòu)齒輪各嚙合位置接觸區(qū)域的最大接觸應(yīng)力值，得到不同相位角的最大接觸應(yīng)力曲線，如圖9所示。

　　在整個(gè)嚙合周期內(nèi)，基于三截面構(gòu)造的齒輪的最大接觸應(yīng)力出現(xiàn)在單齒嚙合區(qū)，可達(dá)到138.3 MPa，如圖10（a）所示；最小接觸應(yīng)力出現(xiàn)在雙齒嚙合區(qū)，應(yīng)力值為89.78 MPa；而多截面構(gòu)造的誤差齒輪在單齒嚙合區(qū)的1.68 rad嚙合相位處出現(xiàn)嚙合周期內(nèi)最大接觸應(yīng)力，其應(yīng)力值為158.4 MPa，如圖10（b）所示，與三截面構(gòu)造的誤差齒輪結(jié)果偏差13.1%。在退出嚙合時(shí)，兩者結(jié)果偏差為22.7%。從圖10可以看出，在每個(gè)嚙合區(qū)內(nèi)，多截面構(gòu)造的誤差齒輪的最大接觸應(yīng)力變化更為明顯，浮動(dòng)更大。

　　為了更直觀比較兩者差異，建立理論齒輪模型，如圖11（a）所示。提取上述兩個(gè)模型在1.71 rad相位處的接觸區(qū)域，分別如圖11（b）、圖11（c）所示。從理論模型上看，當(dāng)進(jìn)入雙齒嚙合區(qū)域時(shí)，理論齒輪接觸區(qū)域的最大接觸應(yīng)力值相當(dāng)，且1號(hào)齒中靠近齒根處的接觸面積會(huì)比2號(hào)齒齒頂處大，由1號(hào)齒承擔(dān)更大載荷，但由于齒形誤差的存在，接觸面積的大小和輪齒間載荷的分配方式發(fā)生改變。當(dāng)進(jìn)入雙齒嚙合區(qū)時(shí)，三截面構(gòu)造的誤差齒輪的2號(hào)齒與1號(hào)齒的接觸面積差異不顯著，其接觸應(yīng)力也相差不大，基本上共同承擔(dān)載荷，如圖11（b）所示，結(jié)果與理論齒輪相近；而多截面構(gòu)造的誤差齒輪2號(hào)齒上的最大接觸應(yīng)力是1號(hào)齒上最大接觸應(yīng)力的1.1倍，其接觸面積大于1號(hào)齒，2號(hào)齒承擔(dān)大部分載荷，如圖11（c）所示。多截面構(gòu)造的誤差齒面更細(xì)致地表現(xiàn)出了由齒形誤差導(dǎo)致的輪齒接觸面積的變化。

　　4.3誤差齒輪副傳動(dòng)誤差的對(duì)比研究

　　在靜力學(xué)分析中，本文根據(jù)不同的載荷工況，分別設(shè)置了20、100、300 N·m的阻力矩，以探究三截面構(gòu)造的誤差齒輪副與多截面構(gòu)造的誤差齒輪副在不同工況下傳動(dòng)誤差的變化情況。在輕載工況下，如圖12所示，三截面構(gòu)造的誤差齒輪的最大傳動(dòng)誤差幅值基本保持在12′′左右，與標(biāo)準(zhǔn)齒輪的最大傳動(dòng)誤差幅值相近，而多截面構(gòu)造的誤差齒輪的最大傳動(dòng)誤差幅值達(dá)到15′′左右；理論上，由于齒形誤差對(duì)嚙合線產(chǎn)生影響，因此，傳動(dòng)誤差曲線會(huì)產(chǎn)生小周期波動(dòng)。同時(shí)從圖13（a）可以看出，隨著負(fù)載轉(zhuǎn)矩的增加，三截面構(gòu)造的誤差齒輪的傳動(dòng)誤差在逐漸增大，最大傳動(dòng)誤差幅值增長(zhǎng)了25%；而從圖13（b）可以觀察到多截面構(gòu)造的誤差齒輪較明顯的傳動(dòng)誤差變化情況，傳動(dòng)誤差出現(xiàn)明顯波動(dòng)，其最大傳動(dòng)誤差幅值增大了33%。由此表明，多截面的構(gòu)造方法更能夠反映實(shí)際齒面的情況，能較準(zhǔn)確地分析出齒形誤差對(duì)齒輪嚙合性能的影響。

　　5結(jié)論

　　為了能更精確分析出齒形誤差對(duì)漸開線齒輪嚙合性能的影響，進(jìn)而為提高新能源汽車中齒輪的齒面精度提供指導(dǎo)，提出一種多截面齒面構(gòu)造方法，旨在構(gòu)造更加貼合實(shí)際誤差齒面的齒輪模型。通過與傳統(tǒng)三截面構(gòu)造的誤差齒輪模型的齒面接觸應(yīng)力、傳動(dòng)誤差的對(duì)比研究，得出如下主要結(jié)論：

　　1）相比三截面構(gòu)造的誤差齒輪，多截面構(gòu)造的誤差齒輪在每個(gè)嚙合區(qū)內(nèi)的最大接觸應(yīng)力變化更明顯，浮動(dòng)更大，并且更能明顯地表現(xiàn)出由齒形誤差引起的輪齒接觸面積及輪齒間載荷分配的變化。

　　2）隨著負(fù)載轉(zhuǎn)矩的增大，三截面構(gòu)造的誤差齒輪的傳動(dòng)誤差幅值增長(zhǎng)25%，而多截面構(gòu)造的誤差齒輪增長(zhǎng)33%；相較于理論齒輪，多截面構(gòu)造的齒輪出現(xiàn)了較明顯的波動(dòng)，更加符合齒形誤差對(duì)齒輪副傳動(dòng)誤差的影響規(guī)律，更能反映出齒面的實(shí)際情況。